Utled The Varians Of The Eksponentielt Vektede Moving Average

Jeg har et problem å forstå et stykke papir. Svært setter pris på noen tips eller hjelp. Det står: En sensor registrerer Z (i) med intervaller på 1 sekund og beregner bakgrunnsverdier U (i) ved hjelp av formel: hvor R er en konstant faktor og U (0) beregnes fra formålingsdata. Nå er det noen ide om denne formelen er kjent. Er det en to-termisk Gaussisk blandingsstøy. Da står det akkurat slik: Variansen U (i) av disse verdiene beregnes fra de beregnede verdiene U (i): hvor k er sigma faktor og T er gitt måltid. Jeg aner ikke hvordan variansen ble noe sånn. Jeg forstår termen T og sqrt-funksjonen, men den generelle formelen, ingen ide. Eksplosjonell eksponentielt vektet Flytende Gjennomsnittlig Volatilitet er det vanligste risikobilledet, men det kommer i flere smaker. I en tidligere artikkel viste vi hvordan du kan beregne enkel historisk volatilitet. (For å lese denne artikkelen, se Bruke volatilitet for å måle fremtidig risiko.) Vi brukte Googles faktiske aksjekursdata for å beregne den daglige volatiliteten basert på 30 dagers lagerdata. I denne artikkelen vil vi forbedre den enkle volatiliteten og diskutere eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt (EWMA). Historisk Vs. Implisitt volatilitet Først kan vi sette denne metriske inn i litt perspektiv. Det er to brede tilnærminger: historisk og underforstått (eller implisitt) volatilitet. Den historiske tilnærmingen antar at fortid er prolog, vi måler historie i håp om at det er forutsigbart. Implisitt volatilitet, derimot, ignorerer historien den løser for volatiliteten underforstått av markedsprisene. Det håper at markedet vet best, og at markedsprisen inneholder, selv om det implisitt er, et konsensusoverslag over volatiliteten. Hvis du fokuserer på bare de tre historiske tilnærmingene (til venstre over), har de to trinn til felles: Beregn serien av periodisk avkastning Bruk en vektingsplan Først må vi beregne periodisk avkastning. Det er vanligvis en serie av daglige avkastninger der hver retur er uttrykt i kontinuerlig sammensatte vilkår. For hver dag tar vi den naturlige loggen av forholdet mellom aksjekursene (det vil si prisen i dag fordelt på pris i går, og så videre). Dette gir en rekke daglige avkastninger, fra deg til deg i-m. avhengig av hvor mange dager (m dager) vi måler. Det får oss til det andre trinnet: Det er her de tre tilnærmingene er forskjellige. I den forrige artikkelen (Bruke volatilitet for å måle fremtidig risiko) viste vi at det med noen akseptable forenklinger er den enkle variansen gjennomsnittet av kvadreret retur: Legg merke til at dette beløper hver periodisk avkastning, og deler deretter den totale av antall dager eller observasjoner (m). Så, det er egentlig bare et gjennomsnitt av den kvadratiske periodiske avkastningen. Sett på en annen måte, hver kvadret retur blir gitt like vekt. Så hvis alfa (a) er en vektningsfaktor (spesifikt en 1m), ser en enkel varians slik ut: EWMA forbedrer seg på enkel variasjon Svakheten i denne tilnærmingen er at alle avkastningene tjener samme vekt. Yesterdays (veldig nylig) avkastning har ingen større innflytelse på variansen enn de siste månedene tilbake. Dette problemet er løst ved å bruke det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA), der nyere avkastning har større vekt på variansen. Det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA) introduserer lambda. som kalles utjevningsparameteren. Lambda må være mindre enn en. Under denne betingelsen, i stedet for likevekter, vektlegges hver kvadret retur med en multiplikator på følgende måte: Risikostyringsfirmaet RiskMetrics TM har for eksempel en tendens til å bruke en lambda på 0,94 eller 94. I dette tilfellet er den første ( siste) kvadratiske periodiske avkastningen er vektet av (1-0.94) (.94) 0 6. Den neste kvadrerade retur er bare et lambda-flertall av den tidligere vekten i dette tilfellet 6 multiplisert med 94 5,64. Og den tredje forrige dagens vekt er lik (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Det er betydningen av eksponensiell i EWMA: hver vekt er en konstant multiplikator (dvs. lambda, som må være mindre enn en) av den tidligere dagens vekt. Dette sikrer en variasjon som er vektet eller forspent mot nyere data. (For å lære mer, sjekk ut Excel-regnearket for Googles volatilitet.) Forskjellen mellom bare volatilitet og EWMA for Google er vist nedenfor. Enkel volatilitet veier effektivt hver periodisk avkastning med 0,196 som vist i kolonne O (vi hadde to års daglig aksjekursdata. Det er 509 daglige avkastninger og 1509 0,196). Men merk at kolonne P tildeler en vekt på 6, deretter 5,64, deretter 5,3 og så videre. Det er den eneste forskjellen mellom enkel varians og EWMA. Husk: Etter at vi summerer hele serien (i kolonne Q) har vi variansen, som er kvadratet av standardavviket. Hvis vi vil ha volatilitet, må vi huske å ta kvadratroten av den variansen. Hva er forskjellen i den daglige volatiliteten mellom variansen og EWMA i Googles tilfelle. Det er signifikant: Den enkle variansen ga oss en daglig volatilitet på 2,4, men EWMA ga en daglig volatilitet på bare 1,4 (se regnearket for detaljer). Tilsynelatende avviklet Googles volatilitet mer nylig, derfor kan en enkel varianse være kunstig høy. Dagens variasjon er en funksjon av Pior Days Variance Du vil legge merke til at vi trengte å beregne en lang rekke eksponentielt avtagende vekter. Vi vil ikke gjøre matematikken her, men en av EWMAs beste egenskaper er at hele serien reduserer til en rekursiv formel: Rekursiv betyr at dagens variansreferanser (dvs. er en funksjon av tidligere dager varians). Du kan også finne denne formelen i regnearket, og det gir nøyaktig samme resultat som longhandberegningen. Det står: Dagens varians (under EWMA) er lik ydersidens varians (veid av lambda) pluss yderdagskvadret retur (veid av en minus lambda). Legg merke til hvordan vi bare legger til to begreper sammen: Yesterdays weighted variance og yesterdays weighted, squared return. Likevel er lambda vår utjevningsparameter. En høyere lambda (for eksempel som RiskMetrics 94) indikerer tregere forfall i serien - relativt sett vil vi ha flere datapunkter i serien, og de kommer til å falle av sakte. På den annen side, hvis vi reduserer lambda, indikerer vi høyere forfall: vikene faller av raskere, og som et direkte resultat av det raske forfallet blir færre datapunkter benyttet. (I regnearket er lambda en inngang, slik at du kan eksperimentere med følsomheten). Sammendrag Volatilitet er den øyeblikkelige standardavviket for en aksje og den vanligste risikometrisk. Det er også kvadratroten av variansen. Vi kan måle variansen historisk eller implisitt (implisitt volatilitet). Når man måler historisk, er den enkleste metoden enkel varians. Men svakheten med enkel varians er alle returene får samme vekt. Så vi står overfor en klassisk avvei: vi vil alltid ha mer data, men jo flere data vi har jo mer vår beregning er fortynnet av fjernt (mindre relevant) data. Det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA) forbedres på enkel varians ved å tildele vekt til periodisk retur. Ved å gjøre dette kan vi begge bruke en stor utvalgsstørrelse, men gi også større vekt til nyere avkastninger. (For å se en filmopplæring om dette emnet, besøk Bionic Turtle.) Beta er et mål for volatiliteten eller systematisk risiko for en sikkerhet eller en portefølje i forhold til markedet som helhet. En type skatt belastet kapitalgevinster pådratt av enkeltpersoner og selskaper. Kapitalgevinst er fortjenesten som en investor. En ordre om å kjøpe en sikkerhet til eller under en spesifisert pris. En kjøpsgrenseordre tillater handelsmenn og investorer å spesifisere. En IRS-regelen (Internal Revenue Service) som tillater straffefri uttak fra en IRA-konto. Regelen krever det. Det første salg av aksjer av et privat selskap til publikum. IPO er ofte utstedt av mindre, yngre selskaper som søker. Gjeldsgrad er gjeldsraten som brukes til å måle selskapets økonomiske innflytelse eller en gjeldsgrad som brukes til å måle en person. EWMA-tilnærmingen har en attraktiv funksjon: det krever relativt lite lagrede data. For å oppdatere vårt estimat når som helst, trenger vi bare et tidligere estimat av variansraten og den nyeste observasjonsverdien. Et sekundært mål for EWMA er å følge endringer i volatiliteten. For små verdier, påvirker de siste observasjonene estimatet omgående. For verdier nærmere en, endres estimatet sakte basert på de siste endringene i avkastningen til den underliggende variabelen. RiskMetrics-databasen (produsert av JP Morgan og offentliggjort tilgjengelig) bruker EWMA med for oppdatering av daglig volatilitet. VIKTIG: EWMA-formelen antar ikke et langsiktig gjennomsnittlig variansnivå. Konseptet om volatilitet betyr at reversering ikke er fanget av EWMA. ARCHGARCH-modellene er bedre egnet til dette formålet. Et sekundært mål for EWMA er å spore forandringer i volatiliteten, så for små verdier påvirker siste observasjon estimatet omgående, og for verdier nærmere en, endres estimatet sakte til de siste endringene i avkastningen til den underliggende variabelen. RiskMetrics-databasen (produsert av JP Morgan) og offentliggjort i 1994, bruker EWMA-modellen til å oppdatere daglig volatilitetsestimat. Selskapet fant at over en rekke markedsvariabler, gir denne verdien prognosen for variansen som kommer nærmest til realisert variansrate. De realiserte variansene på en bestemt dag ble beregnet som et likevektt gjennomsnitt på de påfølgende 25 dagene. På samme måte, for å beregne den optimale verdien av lambda for datasettet, må vi beregne den realiserte volatiliteten på hvert punkt. Det finnes flere metoder, så velg en. Deretter beregner du summen av kvadratfeil (SSE) mellom EWMA estimat og realisert volatilitet. Endelig, minimer SSE ved å variere lambdaverdien. Høres enkelt Det er. Den største utfordringen er å bli enige om en algoritme for å beregne realisert volatilitet. For eksempel valgte folket på RiskMetrics de påfølgende 25 dagene for å beregne realisert variansrate. I ditt tilfelle kan du velge en algoritme som bruker daglig volum, HILO og eller OPEN-CLOSE priser. Spørsmål 1: Kan vi bruke EWMA til å estimere (eller prognose) volatilitet mer enn ett skritt foran EWMA-volatilitetsrepresentasjonen antar ikke en langsiktig gjennomsnittlig volatilitet, og dermed for enhver prognoshorisont utover ett trinn, returnerer EWMA en konstant verdi: Avvik variansen av eksponentielt vektet Denne forhåndsvisningen viser sider 38ndash42. Registrer deg for å se hele innholdet. Avvik variansen av det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet z i. 0 22 0 2 var () var (1)) var () 2 j t j j j j j j Zx x n 6154861548 6154861555 61548 61605 61485 61501 61605 61485 61501 6167361689 6150161485 61669 6167461690 6167561691 61669 6167061686 61501 6167161687 61485 6167261688 9.39. Likestilling av bevegelige gjennomsnittlige og eksponentielt veide glidende gjennomsnittlige kontroller. Vis at hvis 61548 2 (w 1) for EWMA-kontrollskjemaet, er dette diagrammet ekvivalent med et w-periodisk glidende gjennomsnittlig kontrolldiagram i den forstand at kontrollgrensene er identiske i steady state. For EWMA-diagrammet er de steady state kontrollgrensene 3 (2) xn 61555 61617 61485. Ved å erstatte 61548 2 (w 1), 2 13 1 33 2 2 1 wxxx wn wn nw 6155561555 61483 61617 61501 61617 61501 61617 61485 61483. som er de samme som grensene for MA-diagrammet. 9,40. Fortsettelse av øvelse 9.39. Vis at hvis 61548 2 (w 1), så er gjennomsnittlig ldquoagesrdquo av dataene som brukes til å beregne statistikken z i og M i identiske. Gjennomsnittlig alder av dataene i et gjennomsnittlig gjennomsnittsalder er 1 0 11 2 w j w j w 61485 61501 61485 61501 61669. I EWMA er vekten gitt til en prøve gjennomsnittlig j perioder siden 61548 (1 - 61548) j. så gjennomsnittsalderen er 0 1) j j j 61605 61501 61485 6148561501 61669. Ved å ligge i middelalder: 2 2 1 w w 6148561485 61501 61501 61483 Denne forhåndsvisningen har forsettlig slitte seksjoner. Registrer deg for å se fullversjonen. CUMULATIVE SUM OG EXPONENTIAL WEIGHTED FLYGGJENESTE KONTROLLSKJERTER 9-39 9.41. Vis hvordan du endrer kontrollgrensene for det bevegelige gjennomsnittlige kontrollskjemaet hvis rationelle undergrupper av størrelse n gt 1 blir observert hver periode, og målet med kontrollskjemaet er å overvåke prosessmiddelet. For n gt 1, 00 33 Kontrollgrenser w n wn 6155561555 6154961549 6167061686 61501 61617 61501 61617 6167161687 6167261688 9.42. Et Shewhart x-diagram har senterlinje på 10 med UCL 16 og LCL 4. Anta at du ønsker å supplere dette diagrammet med et EWMA-kontrollskjema med 61548 0,1 og samme kontrollgrensebredde i 61555-enheter som brukt på x-diagrammet. Hva er verdiene for de steady-state øvre og nedre kontrollgrensene på EWMA-diagrammet x-diagram: CL 10, UCL 16, LCL 4 UCL CL 16 10 6 xxxkkk 61555 6150161483 6150161485 61501 EWMA-diagram: UCL CL (2) CL 0,1 2 0,1) 10 6 (0,2294) 11,3765 LCL 10 6 (0,2294) 8,6236 ln 61548 61501 61483 61485 61501 61483 61485 61501 61483 61501 61501 61485 61501 9.43. Et EWMA kontrollskjema bruker 61548 0.4. Hvorvidt vil grensene være på Shewhart kontrollskjemaet, uttrykt som et flertall av bredden av steady state EWMA-grensene. For EWMA er steady state grenser (2) L 61555 61548 6161761485 For Shewhart er steady state grenser k 61617) 0,4 (2 0,4) 0,5 kL 61501 9-40 KAPITTEL 9 KUMULATIVE SUM OG EXPONENTIELT VEKTET MOVING AVERAGE CONTROL CHARTS 9.44. Vurder ventilfeildataene i eksempel 7.6. Sett opp et CUSUM-diagram for å overvåke tiden mellom hendelser ved hjelp av transformert variabel tilnærming som er illustrert i det eksemplet. Bruk standardiserte verdier av h 5 og k frac12. De to alternativene til å plotte et CUSUM-diagram med transformerte data er: 1. Omform dataene, målet (hvis gitt) og standardavviket (hvis gitt), bruk disse resultatene i dialogboksen CUSUM-diagram, eller 2. Forvandle målet (hvis gitt) og standardavvik (hvis gitt), bruk deretter Box-Cox-fanen under CUSUM Options for å transformere dataene. Løsningen nedenfor bruker alternativ 2. Denne forhåndsvisningen har forsettlig sløret seksjoner. Registrer deg for å se fullversjonen. CUMULATIVE SUM OG EXPONENTIAL WEIGHTED FLYGGJENESTE KONTROLLSKJERTER 9-41 9.44. Fortsatt Fra eksempel 7.6, transformer tid-mellom-feil (Y) data til omtrent normal distribusjon med X Y 0,2777. TY 700, TX 700 0.2777 6.167, k 0.5, h 5 MTB gt Stat gt Kontrollkort gt Tidvektede diagrammer gt CUSUM En ensidig lavere CUSUM er nødvendig for å oppdage en økning i feilfrekvensen eller tilsvarende en reduksjon i tids - mellom-feil. Vurder den nedre CUSUM på Minitab-diagrammet for å vurdere stabiliteten. Dette er slutten av forhåndsvisningen. Registrer deg for å få tilgang til resten av dokumentet. Denne lekserhjelpen ble lastet opp på 10302016 for kurset IE 672 undervist av professor Abdou under høsten 03914 på NJIT. Klikk for å redigere dokumentdetaljer